Cloudは英単語では「雲」という意味があります。
IT/Webで「クラウドで・・・」という使われ方をする場合、それは「クラウドコンピューティング」のことを指しており、今後増えると言われている（というより増えた）新しい利用形態です。
手元のPCなどで処理を行うのではなくネットワークの先（ネットワーク経由で）のサーバーなりPCで処理をさせることをいいます。
追記：クラウド・サービス市場，2012年に420億ドル規模へ
相関図やフローなどでサーバーやネットワーク先をこーいうイラストで表現していることがあると思います。
これは「インターネット上で通信パケットをやりとりする際には，いくつかのサーバーやネットワーク機器の間をバケツ・リレー形式で経由しながら相手に届く。
その際に，パケットがどのような経路を通っているかを意識したり制御したりすることは難しいため，中が見えない“雲”で表現する」
（ITPro「クラウド・コンピューティングとは」より） ということだそうです。
従来、何か処理を行う際には手元のPCに専用のソフトが必要であり、それを個々のPCにて所持/管理していたわけですが、ネットワーク先（サーバー）にその作業が移行することでこれらの大半は不要となってきます。
専用のソフトがいらないため手元のPCはその「表示」ができればよく、対応しているのであれば携帯でもPDAでも構いません（ネットワーク上なのでセキュリティやプライバシー保護の強化が必要となります）。
ネットワーク先で作業させるという点ではAPIやASP、SaaS（software as a service＝サービスとしてのソフトウェア）、SOA（サービス指向アーキテクチャ）なども「クラウド・コンピューティング」の一環かと思います（「クラウド・コンピューティング」自体は更にその発展型と書かれています）。
「WEBデータベース化」にも、この構想が基本にあります。
製品や商品等をデータベース内に登録しておき、PHPを使ってページやPDFを生成したり、データベースからXMLやCSVを書きだしてそれを使って紙媒体の自動組版を行ったり（この二次利用は手元に専用ソフト必要です）等など。
ちなみに「クラウドコンピューティングという場合、広くみれば従来からのインターネット上の情報検索サービス、インターネットショッピング、インターネットバンキングなども含まれそうですが、通常はユーザーが自分でソフトウェアを購入（ライセンス契約）していたような、例えばドキュメント管理、グループウェア、営業支 援システム、会計システムなどを主に指します。
（Wikipedia「クラウドコンピューティング」より）
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